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梯度树提升算法(GTBA, gradient tree boosting algorithm)
继续boosting类算法哎。小小预告一下，下节课会直接跳到随机森林，老师貌似是想把各种分类器都一下子讲到，然后有点前后照应的比较～真有意思，若是以前扔给我这种问题我肯定run一个logit regression就不管了，现在倒是有各种线性的、广义线性的、非线性的模型可以试着玩了，爽哎～
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小小的复习一下上节课那个框架。
1. 数据。 D={ (xi,yi),1≤i≤N}
2. 模型。 f(x)=∑Mm=1βmb(x,γm)
为基函数模型，其中 { b(x,γ),γ∈Γ} 成为基函数集合。 { (βm,γm)}M1为参数。
3. 损失函数（准则）。 L(y,f(x))
为损失函数，然后就转为一个优化问题：
{ (β∗m,γ∗m)}M1=argmin∑Ni=1L(y,f(x))=argmin∑Ni=1L(yi,∑Mm=1βmb(x,γm))
4. 算法。 前向分步算法。
在此框架之下，除了上节课的Adaboost之外，还可以套用多种其他的基函数，然后1）定义损失函数 2）给出迭代那一步的优化算法，就可以实现一种boost提升算法了。
先采用均方误差的损失函数，定义 L(y,f(x))=(y−f(x))2
，这样就可以得到
(β,γ)=argmin∑Ni=1(yi−fm−1(xi)−βb(xi,γ))2
然后定义：
rim=yi−fm−1(xi),1≤i≤N
， ⇒argminβ,γ∑Ni=1(rim−βb(xi,γ))2 。这里 (xi,rim)之后用回归树来求的话，就是梯度回归树算法。
先吹捧一下：这个算法就是此书作者本人开发的，然后已经搞出来了软件包，可以做回归也可以做分类，貌似效果还胜过随机森林（当然是作者自己给出的那些例子...）。
损失函数 L(y,f(x))
为可微的。
我们的优化目标是 ∑Ni=1L(yi,f(xi))
，也就是说实际上我们不是直接对 L(y,f(x)) 进行优化，而是仅仅在所有观测的数据点上优化，所以仅跟 f(⋅)在这些观测点上的值有关。感觉这里就是说，我们使用有限的观测到的信息来推断一个连续的函数，然后类推并用于其他未观测到的点。
定义：
f¯=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢f(x1)f(x2)⋮⋮f(xN)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
，这样这个问题就从一个直接优化 f(⋅)的泛函问题转化为一个优化多元函数的问题...而对于一个多元函数，我们可以直接用梯度下降法。定义梯度为：
f¯0,∂L∂f¯|f¯0=g¯0
，这样 f¯1=f¯0−g¯0 。类似的，我们可以定义 f¯m=f¯m−1−τg¯m−1 ，其中 g¯m−1=∂L∂f¯|f¯m−1。累加起来，就是
f¯m=f¯0−τg¯m−1−⋯−τg¯0
，这里 τ 可以是常量也可以随着 m改变。
定义完梯度下降之后，就是GTBA算法了。
1. 参数。这里显然有如下参数需要设定：
2. 特征变量评价
这个算法的一大优势就是可以给出各个自变量的评价。比如 P>N
的时候我们可能面临特征变量选择问题。
用t表示树中的节点， v(t)
表示t节点所用的变量， τ2(t)表示t节点产生的均方误差的减小值。之后定义：
xτ=∑tI(v(t)=xτ)τ2(t)
，可用这个值来刻画变量的重要性，从而进行特征评价。
3. 通用工具
该算法对于数据无特殊要求，有一批 D={ (xi,yi),1≤i≤N}
都可以扔进去试试，故可以作为其他算法的benchmark。
此外，从贝叶斯分类器的角度，我们要找的是 f(x)=argmaxP(G|x)
，这样除了原有可以观测到的 (xi,Gi) 之上，还可以衍生出一个 Gi 向量，即 Gi=(0,0,..,1,..,0) ，第k个位置为1如果观测到的 (xi) 对应第k类。一下子就可以扩展整个数据集，也可以进一步对每类都赋一个概率，不单单是0-1这样。转载地址：http://ucvqj.baihongyu.com/